Préparation à la séance 7

Dynamique des populations

En l’absence de prédateurs, l’évolution d’une population de choristoneura fumiferana (chenille de l’épicéa) suit approximativement une dynamique de Verhulst (équation logistique). Si au temps t0 l’effectif de la population est p(t0) = p0 on peut simuler l’évolution de la population en résolvant le problème de Cauchy suivant :

dp(t)/dt =r0 ( 1 - p( t)/K)p( t ) avec 0 < t <T et p(t0) = p0

K est la capacité biotique du milieu (exprimée en nombre de chenilles) et r0 est le taux de croissance intrinsèque (exprimé en s-1).

Pour lutter contre l’effet destructeur de ce ravageur (qui attaque les sapins baumiers) on introduit des prédateurs (oiseaux). L’évolution de la population de chenilles peut alors être modélisée par un autre problème de Cauchy :

dp(t)/dt = r0( 1 - p ( t)/K) p ( t) - B p(t)*p(t) / (A*A+p(t)*p(t)) avec 0 < t <T et p(t0) = p0

Où B et A dépendent de la nature des prédateurs et des conditions de prédation.

L’introduction de variables réduites et d’un coefficient  permet de remplacer les deux problèmes de Cauchy précédents par un problème réduit équivalen.

Encodez le programme ci-dessous et expliquez ce qu’il effectue comme calculs.
Pour les différentes valeurs données des paramètres, calculez les populations d’équilibre qui s’obtiennent en remplaçant par zéro.
Effectuez quelques simulations en faisant varier les paramètres et consignez par écrit les observations que vous faites.


% Pullulation de la chenille de l'épicéa
% Choristoneura fumiferana
% Equation de Ludwig et al. (1978)
% K : capacité biotique
% A et B : termes de prédation
% p : effectif de la population
% p0 : effectif initial
% r0 : taux de croissance intrinsèque
clear; clc
phi = 0; % Si phi = 0 : évolution logistique (pas de prédation)
phi = 1; % Si phi = 1 : évolution dépendant de la prédation
K = 101;
r0 = 0.0950;
%r0 = 0.0951;
A = 4; B = 1;
rho = r0*A/B;
kappa = K/A;
u0=0.1*K/A;
u(1)=u0;
Taumax=80;
dtau=0.1;
tau=0:dtau:Taumax;
max = length(tau)-1;
for n=1:max
u2=u(n)^2;
u(n+1) = u(n) + rho*u(n)*(1-u(n)/kappa)*dtau - phi*u2/(1 + u2)*dtau;
end
plot(tau,u,'k','LineWidth',2)
grid on
xlabel('\tau'); ylabel('population réduite');
titre=(['Equation de Ludwig r_0 = ',num2str(r0)]);
title(titre);
hold on

Pour déterminer les populations d’équilibre il suffit d’utiliser la méthode de Newton après avoir fait un graphe de la fonction r0( 1 - p ( t)/K) p ( t) - B p(t)*p(t) / (A*A+p(t)*p(t)) pour avoir une première estimation des racines. On peut aussi obtenir une première approximation des populations d’équilibre en faisant le graphe de la courbe B p(t)*p(t) / (A*A+p(t)*p(t)) et de la droite r0( 1 - p ( t)/K) sur une même figure et en déterminant leurs points d’intersections (NB : u = 0 correspond à une population d’équilibre instable, ce qui signifie qu’il ne peut y avoir extinction totale de la population de chenilles, quelle que soit l’efficacité de leurs prédateurs).