Corrigé examen Janvier 2006 + Question tenseur d'inertie

Voila un examen corrigé par les soins d'Elisabete l'assistante meca/math.

...enfin un examen, la théorie est pas corrigée (voir cours), et le deuxieme exercice est identique a un de ceux fait au TPs.
En gros ya qu'un exercice, le 3, de l'examen de janvier 2006. Mais il est très bien fait

Merci à Guillaume pour le scan



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en esperant que ça vous sera utile

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Bonsoir !

j'ai une petite question...

Quelqu'un serait comment on fait pour calculer le tenseur d'inertie d'un prisme de hauteur h à base carrée de coté a?
Est ce que les produits d'inertie sont nuls ?
comment determine-t-on les bornes de l'intégrales triples?

Si quelqu'un savait me répondre, ça me soulagerait mon stress et ma conscience :p

Merci merci

pour calculer ton produit d'inertie tu dois d'abord regarder la symétrie du solide. dans un prisme à base carrée, il ya deus axes de symétrie, donc ton tenseur est une matrice diagonale (les produits d'inertie sont donc nuls car se simplifient)

pour les bornes ca peut etre comme ca: (triple intégrale).rô.dx.dy.dz, avec bornes de x: de 0 à a, bornes de y idem et pour z c'est de 0 à h.

J'espère que ca va t'aider mais suis pas sûre que c'est ca

je suis pas sur mais ...
pour profiter de la symétrie, il faut placer ton repère d'axes principaux d'inertie {e1,e2,e3} au centre du prisme (en effet les plans formés par les axes doivent être les plans de symétrie). Comme ça les produits d'inertie sont nuls et t'a une matrice diagonale comme disait Mélody, avec I1 I2 I3 moments principaux d'inertie .

Donc je crois qu'en fait pour x t'intégre de -a/2 à +a/2, idem pour y, et pour z de -h/2 à +h/2.

Bon je vois pas vraiment de quel exercice tu parles mais si a c'est bien la longueur totale du côté, et h la hauteur totale, ben les bornes que j'ai indiqué devraient être les bonnes.

je confirme c'est bien les bornes de -a/2 à a/2 pour x et y!!

et tant qu'on est dans les question, je m'embrouille dans les potentiels, je sais jamais s'il faut mettre un moins dans le potentiel ou s'il faut pas, ca change à chaque exo. Donc qqun aurait pas une super régle générale ou une explication logique pour savoir s'il faut ou pas ce moins...

Merci


Niko

normalement V= k/2 (allongement par rapport a la position d'équilibre)²
l'énergie potentielle est toujours positive puisque l'allongement (qui peut etre + ou -) est mis au carré.
C'est la force de rappel du ressort, F= -grad V, qui peut être dans le sens positif ou négatif de l'axe des x (par exemple)
Tout dépend de comment tu places ton repère je crois.

bon vais pas créer un nouveau sujet pour ca, mais savez vous si

-il faut savoir démontrer les équations de lagrange (1ère et 2ème forme, ainsi que le lagrangien)

-il faiut savoir démontrer et faire des exos sur les oscillations forcées

- démontrer les critères de stabilité (résolution des eq de lagrange sou forme vectorielle)

-démontrer les équations de l'enrgie cinétique de rotation et le tenseur d'inertie?

Bref, il risque plus de demander de démontrer les théorème de conservation de (...), non?

la fonction de lagrange L=T-V a jamais été démontré je pense, dans le cours c'est "on définit L=T-V la fonction de lagrange..."
ça permet juste de réécrire l'équation de lagrange sous sa deuxieme forme , lorsqu'on a affaire a un systeme soumis a des contraintes holonomes , dont les forces dérivent d'un potentiel (= sont conservatrices)

maintenant les démonstration pour arriver aux deux formes des équations de lagrange, aux critères de stabilité, à la Jrot et au tenseur sont toutes des très longues démonstrations (surtout pour les critères de stabilité arghh) donc je pense pas qu'il les demanderait, mais font quand même au moins les comprendre. (je suis pas sur mais ça m'étonnerait)

faire des exos sur les oscillations forcées à mon avis ça oui par contre.
si ton systeme à une coordonnée généralisée, disons µ(t) (et ! = lambda), avec une force externe appliqué f
tu pars d'une équation de type d²µ/dt² To v + ! µ To v - f To v = O
comme To v est une base de Rn, il est pas = o
il faut égaler les coefficients d²µ/dt² + ! µ - f = o
c'est une équation différentielle comme on en a fait bcp.

il faut trouver la solution particulière (SPENH), puisque dans le cours il est dit que la SGEH , les oscillations libres du syteme avec frottement, sont transitoires.
on s'occupe donc juste de l'effet de la force appliquée (excitante), qui a long terme sera la seule qui aura un impact sur le systeme.

si f dépend pas du temps c'est facile de trouver µ = f/!, donc à long terme, lorsque les oscillations libres du systeme se seront atténuées, le systeme sera immobile ( car la coordonnée généralisée µ(t)= constante), il sera juste décalé de sa position d'équilibre.

si f est oscillante f(t)= fo cos (wt) , alors t'arrive a une solution du genre µ(t)= (fo/wo²-w²) cos (wt)
l'amplitude est (fo/wo²-w²), avec wo fréquence propre su systeme et w fréquence de la force excitante, avec l'amplitude qui tend vers l'infini lorsque w-> vers wo
(résonnance).

Maintenant c'est clair que si il y a plus qu'une coordonnée généralisée ou plus qu'une force excitante ça devient compliqué mais on a vu aucun exemple avec ça au cours donc ça m'étonnerait qu'il demande ça