Convergences

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Message  Thomas le Lun 12 Mai - 14:22

salut ,

je voulais juste savoir si, quand il demande la convergence, on est censé la lui donner parce qu'on la connait ou réellement la calculer ?
Parce que bon la petit formule K1(xn) = (x(n+2) - x(n+1)) /( x(n+1) - x(n) ) , ben en pratique j'ai du mal à l'appliquer (quel n prendre ?) . Genre avec les exercices de la séance 3 (oui j'en suis pas tres loin ^^) , ben ça me donne des trucs bizarre alors qu'avec Newton je devrais avec d'office une convergence quadratique... Et sans le K, pas moyen de calculer le N (nombre de chiffres précis ajoutés par itérations), et je doute que compter 'manuellement' combien de chiffres sont gagné à chaque itération soit une méthode fiable ...

Bref quelqu'un peut m'éclairer la dessus ça serait très sympa!

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Message  Philippe le Lun 12 Mai - 14:37

enfait il suffit de rajouter ça dans la boucle for du Newton qui calcule les x(n+1) et on commence à calculer K à partir de n=2 sinon ... ben c'est impossible et de faire un break kan N>=12

N(1)=0;
if n>=2 % commence à calculer la vitesse de convergence quand k=2
K(n-1)=(x(n+1)-x(n))/(x(n)-x(n-1)); % calcule la vitesse de convergence
N(n)=-log10(abs(K(n-1)))+N(n-1); % nombre de chiffre précis ajouté
end
if N(n)>=12 % arrête la boucle quand on a trouvé 12 chiffres précis ajoutés.
break
end

Seulement je comprend pas pour le point fixe car dans le cour il est marqué que K(x)= g'(x) alors que quand on calculer avec matlab ce n'est absolument pas ça!
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Re: Convergences

Message  Thomas le Lun 12 Mai - 17:32

heu ouais mais normalement la vitesse de convergence et le nombre de chiffres précis ajoutés sont constents avec une méthode (il me semble) alors qu'avec la formule que tu proposes (qui a l'air correcte), ben ça varie a chaque itération...

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Re: Convergences

Message  nartois le Lun 12 Mai - 18:27

Voici un exemple de la scéance 11 ou on calcul K et ça donne bien un K=0 en dernière valeur. La convergence est donc quadratique ce qui est logique vu que la racine que je trouve par la méthode de Newton est simple.

%Exo1 par la méthode de Newton
clear;
clc;
f=inline('2-3*cos(5*x)-x');
x=0:0.001:2;
y=f(x);
plot(x,y,'r');
grid on
r(1)=1;
echo on
%Je choisi la méthode de Newton vu sa convergence rapide. Je peux choisir
%cette méthode car la racine proche de 1 n'est ni un maximum, ni un minimum.
echo off
fprime=inline('15*sin(5*x)-1');
Nmax=100; % Je prend un Nmax délibérément trop grand
for n=1:Nmax
r(n+1)=r(n)-f(r(n))/fprime(r(n));
delta_r=r(n+1)-r(n);
if (delta_r<10^(-11))
break
end
end
echo on
%Voilà la racine
echo off
format long
racine = r(n+1);
racine
echo off
echo on
% Voilà le nombre d'itérations qu'il a fallu pour obtenir ce résultat
echo off
format short
n
for k=1:3
K(k)=(r(k+2)-r(k+1))/(r(k+1)-r(k));
end
echo on
%Estimation de la vitesse de convergence
echo off
K
echo on
%On voit que la dernière valeur de K est 0. La convergence est donc
%quadratique. C'est tout à fait logique car c'est le type de convergence
%typique de la méthode de Newton lorsque la racine recherchée est simple.
%On va donc gagner deux fois plus de chiffre précis à chaque itération
echo off
N=-log10(abs(K))

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